¶ 问题起源
2009年11月， KeyTo9_Fans提问:
把平面的第一象限分割成单位小方块，把坐标(整数部分)互质的点染成黑色，其余为白色。
其效果如下图所示。（一个像素点是一个单位小方块，共1024*1024个像素，原点在左上角）
¶ 问题一（经典问题）：
在的范围内，黑色方块所占的比例是否有极限？如何求这个极限值？
¶ 问题二（自编问题）：
考虑无限大的范围，能在里面找到大小为n*n的纯白色区域的n的最大值是多少？
¶ 问题三（自编问题）：
设想整个平面是一块黑布，我们挖去了坐标(整数部分)不互质的部分，然后把这块布“拎”起来。
这样，与主体失去连接的一些黑色方块会自动脱落，留下空洞。（用画板里的填充工具把上图的(1,1)填充一下就会发现有些黑色方块并没有被填充）
问对角线旁边的方块（坐标为(x,x+1)或(x+1,x)的方块）是否全部与(1,1)相连？请证明或找反例。
¶ 问题一证明
northwolves回复认为第一个问题的答案是, 并且说这个问题他以前在CSDN上讨论过.
KeyTo9_Fans提供了他的思路:
P(N)有一个准确的上界：
我们只取。
其中，
记，取下整。
记
那么k关于素数、、... 、的余数在k=1到k=N之内至少完成了M个周期的变化。
在一个周期T里面，P(T)严格等于
虽然至少完整地跑完了M个周期，但第(M+1)个周期并不完整。
（实际上可能不止M个完整的周期，但讨论的是上界，就放缩到好了）
由于讨论的是上界，所以不完整的部分认为全满，一个空洞也没有。
所以.
所以随着N的增大，这个上界单调递减。
另一方面，P(N)有一个准确的下界：
不完整的部分被清得一个不剩。
所以
除此之外，还要考虑剩下的素数
p_(n+1)、p_(n+2)、......
的影响。
在N*N的范围内，素数p造成的空洞不多于个，所占比例不多于。
我们假设剩下的素数造成的空洞与之前的素数完全不重叠。
所以P(N)大于
其中 表示，表示，……，依次类推。
记
则
综上：
由极限的夹逼性，P(N)的极限与P(T)的极限相同, 由此在根据前面一些结论可以得出结果。
后来KeyTo9_Fans发现数学吧cqhm关于这个问题给了个很漂亮而且非常简单的证明:
R·查特在1904年发现，两个随意写出的数中，互素的概率为。
证明:考虑两个正整数最大公约数为n的概率，记为p(n)。
明显两个数最大公约数为n当且仅当它们从n的倍数中选取且它们除以n的商互素。
因此.
而显然所有p(n)之和为1，因为两个数有唯一的最大公约数，故p(1)乘以所有正整数平方倒数和为1,而这个和为，故.
mathe评论说如果一定要给这个证明鸡蛋挑骨头，那么就是没有证明概率的存在性。
¶ 问题二讨论
mathe说问题二中纯白色正方形区域可以任意大：
取前个素数排成方阵。
设方阵中每行n个数乘积为,每列n个数乘积为
那么所有的之间互素，同样所有之间互素。
根据中国剩余定理
有解.
同样:
有解.
方阵满足条件.
¶ 问题三反例
问题三看上去很像是能够成立的样子，但是后来Fans在n=2189时找出了一个反例:
上图是截至[2160,2223]*[2160,2223]区间中的互质点。
左上角坐标为(2160,2160)，右下角坐标为(2223,2223)。
黑色方块表示不与(1,1)相连，红色方块表示与(1,1)相连，白色表示不互质。
¶ 问题二深入讨论计算
关于问题二，Fans又提出了一个最优解寻找问题:
对于n=2、n=3、n=4的情况，找对应的(x,y)，使得整数对
(x,y)，(x+1,y)，...，(x+n-1,y)
(x,y+1)，(x+1,y+1)，...，(x+n-1,y+1)
............
(x,y+n-1)，(x+1,y+n-1)，...，(x+n-1,y+n-1)
均不互质。
在满足上面的条件的前提下，(x+y)的值越小越好。
看看对于n=2、n=3、n=4的情况，找出来的整数对到底有多大。
northwolves快速给出n=2： (14,20)
n=3: (1274 ,1308)
mathe建议对于更大的n只搜索特殊模式的解:
如下的结构，其中?用互素而且不小于5的素数。
6 ? 2 3
? ? ? ?
2 ? 2 ?
3 ? ? 3
然后提供了一份C代码
并且找出n=4时可以有解x=726156780,y=68838054。
随后KeyTo9_Fans找出了一组更小的解: x=7247643,y=10199370
并且给出几组类似的不错的解:
并且发现已经有人捷足先登了.
Fans继续努力，程序经过通宵运行，找出n=5的解:
x=7759032126,y=247376414072
| y | y+1 | y+2 | y+3 | y+4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| x | 2 | 3 | 2 | 41 | 2 |
| x+1 | 137 | 37 | 103 | 7 | 11 |
| x+2 | 2 | 19 | 2 | 29 | 2 |
| x+3 | 23 | 3 | 109 | 31 | 3 |
| x+4 | 2 | 47 | 2 | 5 | 2 |
x=14150396180,y=232889465522
| y | y+1 | y+2 | y+3 | y+4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| x | 2 | 37 | 2 | 5 | 2 |
| x+1 | 79 | 3 | 67 | 97 | 3 |
| x+2 | 2 | 13 | 2 | 17 | 2 |
| x+3 | 7 | 11 | 31 | 83 | 43 |
| x+4 | 2 | 3 | 2 | 29 | 3 |
x=37945747188,y=131487690152
| y | y+1 | y+2 | y+3 | y+4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| x | 2 | 3 | 2 | 73 | 2 |
| x+1 | 7 | 41 | 277 | 151 | 109 |
| x+2 | 2 | 89 | 2 | 5 | 2 |
| x+3 | 31 | 3 | 83 | 19 | 3 |
| x+4 | 2 | 17 | 2 | 409 | 2 |
其中最后一个结果最优秀并且被Fans提交到了A179594.