求方程10x=x10 的复数根有多少个?讨论见趣题：10x=x10
mathe很快给出解答:
根据儒歇定理，取f(x)=x10,f(x)+g(x)=x10−10x,于是在复平面中∣x∣<=2的区域里面f(x)=0只有10重根，所以在∣x∣<=2以内x10−10x=0也是10个根，1~3中的解和3#中解的共轭给出了所有这些结果。
而且容易看出2<∣x∣<10无解，但是对于∣x∣>=10,有无穷个解
由于过于抽象,大家反响不强烈,于是 lsr314 和wayne给出了复数解的图.
n=5;
ComplexPlot[10^x-x^10,{x,-n(1+I),n(1+I)},PlotPoints->400,Mesh->{Range[0,0],Range[0,0]},MeshFunctions->{Re[#2]&,Im[#2]&},MeshStyle->{Directive[Thickness[.005],Red],Directive[Dashed,Thickness[.005],Blue]},RegionFunction->Function[{z,f},Abs[f]<=n],BoundaryStyle->None,MeshShading->{{LightGray,White},{White, LightGray}},Epilog->{Thickness[.0001],Dashed,Circle[]},Frame->False,Axes->True]
∣x∣<2的情况下的根
∣x∣>10的情况下的根
最后wayne经过一番折腾,给出了一种新的解答形式:
本题 za=az 的解 即是 方程组 rcosθlna=alnr,rsinθlna=aθ+2nπ的实数解, 消元就是:
z=lnaaθ+2πn(cotθ+i),n∈Z,n=0,ln(lnasinθaθ+2πn)=atanθaθ+2πn