2016年10月TSC999提问：
用 m 种颜色的珠子穿手串，每串有 n 颗珠子，每种颜色的珠子都足够多。有多少种配色不同的手串？
2019年10月markfang2050提问:
某珠宝商准备将蓝、绿、紫三种不同颜色的珠子串成由七颗珠子组成的手链进行出售。请问有多少种不同排列顺序的手链产生？
注意：1，没说一定要用全三色；2，手串是环形，对称性要排除。
¶ 详细内容
¶ 七色彩珠
markfang2050给他的问题配上几个例图:
mathe手工分析markfang2050的问题:
同色3种, 如果左右对称，对称轴过一棵珠子，种（需要去除同色的三种）, 任意摆放的去掉同色和对称的有,
得出总数为.
northwolves很快回复markfang2050,对于他的问题，n颗珠子对应的答案为:
1 3
2 6
3 10
4 21
5 39
6 92
7 198
8 498
9 1219
并且后来右给出对应的python代码并且计算到n=30:
import numpy as np
def count(n):
m=0
for i in range(n):
m+=3.0**np.gcd(n,i+1)
m+=(2+n%2)*n*3**(n//2)
return int(m//(2*n))
for n in range(1,31):
print (n,count(n))
并且指出结果和A027671匹配。
markfang2050也同样给出了Python代码, 并且指出这个问题可以用burnside引理或Polya定理高效解决。
chyanog使用Mathematica代码计算和做出所有对应的手链:
dlpg070改进chyanog的代码将数据结果和图片放在一起:
¶ 彩色手串
hujunhua指出7色手链问题是我们已经讨论过的彩珠手串的配色计数的特例。
其中，TSC999首先自己给出了一个计算结果的表格:
| m种颜色 | |||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ||
| n 颗 珠 子 | 2 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | 66 | 78 |
| 3 | 1 | 4 | 10 | 20 | 35 | 56 | 84 | 120 | 165 | 220 | 286 | 364 | |
| 4 | 1 | 6 | 21 | 55 | 120 | 231 | 406 | 666 | 1035 | 1540 | 2211 | 3081 | |
| 5 | 1 | 8 | 39 | 136 | 377 | 888 | 1855 | 3536 | 6273 | 10504 | 16775 | 25752 | |
| 6 | 1 | 13 | 92 | 430 | 1505 | 4291 | 10528 | 23052 | 46185 | 86185 | 151756 | 254618 | |
| 7 | 1 | 18 | 198 | 1300 | 5895 | 20646 | 60028 | 151848 | 344925 | 719290 | 1399266 | 2569788 | |
| 8 | 1 | 30 | 498 | 4435 | 25395 | 107331 | 365260 | 1058058 | 2707245 | 6278140 | 13442286 | 26942565 | |
| 9 | 1 | 46 | 1219 | 15084 | 110085 | 563786 | 2250311 | 7472984 | 21552969 | 55605670 | 131077771 | 286779076 | |
| 10 | 1 | 78 | 3210 | 53764 | 493131 | 3037314 | 14158228 | 53762472 | 174489813 | 500280022 | 1297362462 | 3096689388 | |
| 11 | 1 | 126 | 8418 | 192700 | 2227275 | 16514106 | |||||||
| 12 | 1 | 224 | 22913 | 704370 | 10196680 | 90782986 | |||||||
并且根据上面表格外推出n小于等于6时通项公式：
后来又给出了S(m,7), S(m,8)的公式：
并且给出了S(3,4)对应的所有情况的图片:
kastin给出分析:
下面内容引自 常新德 永城职业学院《有重复元素的圆排列和环排列的计数问题》:
记 重集 ，其中 分别为元素以及相应的重复数，且集合的势 . 那么该集合所有元素的
1）圆排列数为$$ Q(S)=\frac{1}{n}\sum_{d|(n_1,\cdots,n_k)}\varphi(d)\frac{(\frac{n}{d})!}{\Pi_{i=1}^k(\frac{n_i}{d})!}$$其中 为数论中的欧拉函数， 表示 的最大公约数。
2）环排列数为其中， 为对称圆排列数， 为高斯函数（表示 的整数部分）。
注意：环排列和圆排列，概念有细微区别。环排列考虑旋转不变且翻转不变，而圆排列考虑的是旋转不变。
现在，假定有种重集，那么楼主的手串总数就是问题分三步进行：
- 求线性不定方程 的非负整数解（共 组解）。
- 对任一组解, 计算相应的重集 的环排列数。
- 将这些环排列数相加，。（这与上面的汇总公式不同，是因为这里第1步中允许取0，）
TSC999又根据论文内容给出对应的红黄各四穿成八珠手串的漂亮图片：
hujunhua指出：
可以在OEIS中找到
S(2,n)=A000029
S(3,n)=A027671
S(4,n)=A032275
S(5,n)=A032276
S(6,n)=A056341
S(7,n)=A032276
以及
S(m,9)=A060561
S(m,10)=A060562
kastin接着用伯恩赛德引理（Burnside's lemma，波利亚计数定理就是用它推导得来的）就能得到如下结论：
对于 个颜色可重复地选取 个排成一圈，圆排列数为环排列数为
hujunhua 猜测对于是一个奇素数的情况，有 .
并且得出.